LA MEDIDA DEL MOVIMIENTO

LA MEDIDA DEL MOVIMIENTO.

EL TRABAJO¹

"En cambio, he encontrado siempre, hasta ahora, que los conceptos fundamentales de este campo" (es decir, "los conceptos físicos fundamentales del trabajo y de su inmutabilidad") "parecen ser muy difícilmente asequibles a quienes no han pasado por la escuela de la mecánica matemática, por mucho celo que pongan en ello, por grande que sea su inteligencia e incluso aunque dispongan de un nivel relativamente alto de conocimientos en materia de ciencias naturales". No hay que perder de vista tampoco que se trata de conceptos abstractos de un carácter muy peculiar. Incluso a un espíritu como el de I. Kant se le hizo difícil llegar a captarlos, como lo demuestra su polémica contra Leibniz a propósito de estos problemas". Son palabras de Helmholtz (Populäre wissenschaftliche Vorträge ["Conferencias científicas de divulgación"], II, prólogo).²

Nos aventuramos, pues, ahora por un terreno muy peligroso, tanto más cuanto que no podemos permitirnos nosotros hacer pasar al lector "por la escuela de la mecánica matemática". Pero tal vez se ponga de manifiesto que, allí donde se trata de conceptos, el pensamiento dialéctico lleva, por lo menos, tan lejos como el cálculo matemático.

Galileo descubrió, de una parte, la ley de la caída de los cuerpos, según la cual los espacios recorridos por los cuerpos que caen guardan entre sí la misma relación que los cuadrados de los tiempos que tardan en caer. Y colocó a la par de ella la tesis, que, como veremos, no se compagina del todo con aquella ley, según la cual la magnitud de movimiento de un cuerpo (su impeto o momento) se determina por la velocidad y la masa, de tal modo que siendo la masa constante, es proporcional a la velocidad. Descartes recogió esta segunda tesis y proclamó, en términos generales, que la medida del movimiento de un cuerpo era el producto de su masa por su velocidad.

Huygens descubrió ya que, en el choque elástico, la suma de los productos de las masas por los cuadrados de las velocidades antes y después del impulso era la misma y que una ley análoga rige para otros casos distintos de movimiento de cuerpos enlazados en un sistema.

Fue Leibniz el primero en comprender que la medida cartesiana del movimiento se halla en contradicción con la ley de la

caída de los cuerpos. Pero, por otra parte, no podría negarse que la medida formulada por Descartes resultaba exacta, en muchos casos. Leibniz dividió, pues, las fuerzas motrices en dos clases: las muertas y las vivas. Las muertas eran las "presiones" o los "tirones" de los cuerpos en quietud y su medida el producto de la masa por la velocidad con que el cuerpo se moviera, al pasar del estado de quietud al estado de movimiento. En cambio, presentaba como la medida de la fuerza viva, del movimiento real de un cuerpo, el producto de la masa por el cuadrado de la velocidad. Y, además, derivaba esta nueva medida del movimiento directamente de la ley de la caída de los cuerpos. "Se requiere -concluía Leibniz- la misma fuerza para levantar un pie un cuerpo de cuatro libras de peso que para levantar un cuerpo de una libra de peso a una altura de cuatro pies; ahora bien, los caminos son proporcionales al cuadrado de la velocidad, pues si un cuerpo cae cuatro pies alcanza el doble de velocidad que si cayera un pie solamente. Y, al caer, los cuerpos adquieren la fuerza necesaria para subir de nuevo hasta la altura de la que han caído; por tanto, las fuerzas son proporcionales al cuadrado de la velocidad." (Suter, Geschichte der mathematischen Wissenschaften ["Historia de las ciencias matemáticas"], II, pág. 367.)³

Leibniz demostró, asimismo, que la medida del movimiento, mv, se halla en contradicción con la ley cartesiana de la constancia de la cantidad de movimiento, mientras que la fuerza (es decir, la masa de movimiento), de ser su validez real, aumenta o disminuye constantemente, en la naturaleza. E incluso llegó a proyectar un aparato (Acta Eruditorum,⁴ 1690), que, de ser exacta la medida mv, representaría un perpetuum mobile susceptible de una producción constante de fuerza, cosa evidentemente absurda. Recientemente, ha vuelto Helmholtz a emplear con frecuencia este tipo de argumentación.

Los cartesianos protestaron con todas sus fuerzas y se desencadenó una famosa polémica que duró largos años y en la que tomó parte también Kant con su primer escrito ("Ideas sobre la verdadera evaluación de las fuerzas vivas'', 1746), aunque sin llegar a ver claro en el asunto. Hoy, los matemáticos hablan con bastante desprecio de esta "estéril" disputa "que se mantuvo a lo largo de cuarenta años, dividiendo en dos campos enemigos a los matemáticos de Europa, hasta que, por último, d'Alembert, con su Traité de dynamique ["Tratado de dinámica"] (1743), puso fin como en fallo inapelable a la ociosa disputa verbal,⁵ que no otra cosa era" (Suter, obra cit., pág. 366).

Sin embargo, se hace extraño pensar que se redujera a una disputa totalmente ociosa en torno a palabras una polémica planteada

nada menos que por un Leibniz frente a un Descartes y en la que intervino un hombre como Kant, hasta el punto de dedicarle su obra primeriza, un volumen bastante grueso, por cierto. Y, en efecto, ¿cómo encontrar congruente el que el movimiento tenga dos medidas contradictorias entre sí, una la de la velocidad y otra, la proporcional al cuadrado de la velocidad? Suter toma la cosa muy a la ligera; dice que ambas partes tenían razón y no la tenían; "la expresión de 'fuerza viva' se ha conservado, sin embargo, hasta hoy, si bien no se considera ya como medida de la fuerza,⁶ sino que es simplemente un término ya aceptado para designar el producto de la masa por la mitad del cuadrado de la velocidad, tan importante en mecánica" [pág. 368]. Por tanto, mv sigue siendo la medida del movimiento, y la fuerza viva, según esto, no es más que otro modo de expresar el mv²/2 , fórmula de la que se nos_, dice que tiene gran importancia en mecánica, pero sin que hasta hoy sepamos a ciencia cierta lo que significa.

Tomemos en la mano, sin embargo, el salvador Traité de dynamique y veamos más de cerca el fallo con que d'Alembert zanja la disputa, fallo que figura en el prólogo de la obra. En el texto -se nos dice- no se plantea para nada la cuestión, por 'l'inutilité parfaite dont elle est pour la mécanique'' ["la perfecta inutilidad que entraña para la mecánica"]. Esto es absolutamente exacto en lo tocante a la mecánica de puro cálculo, en la que, como más arriba hemos visto en Suter, los términos verbales no son otra cosa que expresiones, nombres de fórmulas algebraicas, a la vista de los cuales lo mejor es no concebir pensamiento alguno. Sin embargo, habiéndose ocupado del asunto hombres tan eminentes, d'Alembert cree oportuno investigar brevemente la cosa en el prólogo. Pensando claramente en ello -nos dice- sólo puede entenderse por la fuerza de los cuerpos en movimiento su propiedad de vencer obstáculos u ofrecer resistencia a ellos. Por consiguiente, la fuerza no puede medirse ni por mv ni por mv², sino sola y únicamente por los obstáculos y por su resistencia.

Ahora bien, existen tres clases de obstáculos: 1) los obstáculos insuperables, que destruyen totalmente el movimiento, razón por la cual no pueden ser tomados aquí en consideración; 2) los obstáculos cuya resistencia basta exactamente para paralizar el movimiento y que lo paralizan inmediatamente: es el caso del equilibrio; 3) los que sólo paralizan el movimiento paulatinamente: caso del movimiento demorado. "Creemos que todo el mundo estará de acuerdo en que dos cuerpos se equilibran cuando son iguales en ambos lados los productos de sus masas por sus velocidades virtuales, es decir, por la velocidades con que tienden a moverse.

Así, pues, en estado de equilibrio, puede representar la fuerza el producto de la masa por la velocidad o, lo que es lo mismo, la cantidad de movimiento. Y todo el mundo conviene, asimismo, en que, al demorarse el movimiento, el número de obstáculos superados es proporcional al cuadrado de la velocidad, por donde un cuerpo que, a cierta velocidad, pone en tensión un muelle, por ejemplo, a doble velocidad podría poner en tensión, simultánea o sucesivamente, no ya dos, sino cuatro muelles iguales, a triple velocidad nueve, y así sucesivamente. De donde los partidarios de las fuerzas vivas" (los leibnizianos) "concluyen que la fuerza de los cuerpos en movimiento es, en términos generales, proporcional al producto de la masa por el cuadrado de la velocidad. ¿Y qué inconveniente puede haber, en el fondo, en que sea diferente la medida de las fuerzas en el caso del equilibrio y en el del movimiento demorado, si en la fundamentación la palabra fuerza sólo puede sugerir ideas completamente claras cuando se entiende por tal la acción consistente en vencer un obstáculo o la resistencia que éste ofrece?" (Prólogo, págs. XIX y XX de la edición original.)⁷

Pero d'Alembert es demasiado filósofo para no confesar que no es posible sobreponerse a tan poca costa a la contradicción de una doble medida para una y la misma fuerza. Por eso, después de repetir, en el fondo, lo que ya dijera Leibniz -pues su "équilibre" [equilibrio] es exactamente lo mismo que Leibniz llamaba "presiones muertas"-, se pasa de pronto al lado de los cartesianos y encuentra la siguiente salida: el producto mv puede valer también como medida de fuerza en el movimiento demorado, "siempre y cuando que, en este caso, la fuerza no se mida por la cantidad absoluta de los obstáculos, sino por la suma de las resistencias de éstos. No puede dudarse, en efecto, que la suma de las resistencias es proporcional a la cantidad del movimiento (mv),⁸ ya que, como todo el mundo reconoce, la cantidad del movimiento que el cuerpo pierde en todo momento es proporcional al producto de la resistencia por el transcurso infinitamente pequeño de tiempo, y la suma de estos productos expresa, evidentemente, la resistencia total". Esta última manera de calcular le parece la más natural, "pues un obstáculo sólo lo es mientras opone resistencia, y el obstáculo vencido es, en rigor, la suma de la resistencias. Por lo demás, cuando se mide la fuerza de este modo, hay la ventaja de disponer de una medida común para el equilibrio y el movimiento demorado" [pág. XXI].⁹ Cada cual, sin embargo, puede opinar de esto como mejor le parezca. Por su parte, d'Alembert, una vez que, como reconoce el mismo Suter, cree haber resuelto el problema con una pifia matemática, concluye apuntando una serie de observaciones muy poco amables acerca de la confusión reinante

entre sus antecesores y afirma que, a la vista de las observaciones anteriores, sólo cabe, aquí, una discusión metafísica completamente fútil o incluso una disputa aún más indigna en torno a palabras.

El intento conciliatorio de d'Alembert se reduce al siguiente cálculo:

La masa 1 con velocidad 1 dispara 1 muelle en la unidad de tiempo.

La masa 1 con velocidad 2 dispara 4 muelles, pero necesita para ello de 2 unidades de tiempo, lo que quiere decir que en la unidad de tiempo dispara 2 muelles.

La masa 1 con velocidad 3 dispara 9 muelles en tres unidades de tiempo, o sean 3 muelles en la unidad de tiempo.

Por tanto, dividiendo el efecto por el tiempo necesario para producirlo, volvemos nuevamente de mv² a mv.

Es el mismo argumento que ya antes había sido aducido contra Leibniz, principalmente por Catelan:¹⁰ un cuerpo al que se imprime la velocidad 2 se eleva en contra de la gravedad cuatro veces más alto que un cuerpo a la velocidad 1, pero necesita para ello el doble de tiempo, de donde se deduce que la cantidad de movimiento debe dividirse por el tiempo y es = 2, y no = 4. Y este es también, por muy extraño que parezca, el punto de vista de Suter, quien priva a la expresión "fuerza viva" de todo sentido lógico y sólo le deja un sentido matemático. Nada, sin embargo, más natural, ya que para Suter se trata de salvar la fórmula mv en cuanto medida única de la cantidad de movimiento, razón por la cual se sacrifica lógicamente la fórmula mv², para que resucite, transfigurada, en el cielo matemático.

De lo que no cabe duda, sin embargo, es de que la argumentación de Catelan tiende uno de los puentes de unión entre mv² y mv, y a ello se debe su importancia.

Después de d'Alembert, los mecánicos no aceptaron en modo alguno su fallo inapelable, puesto que su juicio final se emitía en favor de mv como medida del movimiento. Siguieron ateniéndose a la expresión que él mismo había dado a la distancia establecida por Leibniz entre fuerzas muertas y fuerzas vivas: para el equilibrio, es decir, para la estática, rige la fórmula mv; para el movimiento demorado, o sea para la dinámica, la fórmula mv². Pero, aunque en conjunto y a grandes rasgos sea exacta, bajo la forma en que se presenta esta distinción no encierra más sentido lógico que aquella célebre distinción del sargento: en actos de servicio, siempre a mí; fuera de servicio, siempre mí.¹¹ Se la acepta tácitamente, como si así fuese la cosa y no estuviera en nuestras manos modificarla, pues si esta doble medida entraña una: contradicción, ¿qué podemos hacer nosotros?

Es lo que vienen a decir, por ejemplo, Thomson y Tait, A treatise on Natural Philosophie ["Tratado de filosofía natural"], Oxford 1857,¹² pág. 162: "La cantidad de movimiento o la magnitud de movimiento de un cuerpo rígido, que se mueva sin rotación, es proporcional a su masa y a su velocidad conjuntamente. Una doble masa o una doble velocidad correspondería a la doble magnitud de movimiento". Y, enseguida: "La fuerza viva o energía cinética de un cuerpo que se halla en movimiento es proporcional a su masa y, al mismo tiempo, al cuadrado de su velocidad."¹³

Bajo una forma tan tosca se emparejan estas dos medidas contradictorias del movimiento. No se hace ni el más leve intento de explicar la contradicción, ni siquiera de paliarla. El pensar queda proscrito del libro de estos dos escoceses; sólo es lícito calcular. Nada tiene de extraño que uno de ellos, Tait, figure entre los más devotos cristianos de la cristiana Escocia.

En las lecciones de mecánica matemática de Kirchoff no aparecen para nada, bajo esta forma, las fórmulas mv y mv².

Veamos si Helmholtz nos ayuda. En la "conservación de la fuerza"¹⁴ propone expresar la fuerza viva por la fórmula mv²/2, punto este sobre el que habremos de volver más adelante. Luego, enumera brevemente (en las págs. 20 ss.) los casos en los que hasta ahora ha sido ya utilizado y reconocido el principio de la conservación de la fuerza viva (y, por tanto, de mv²/2).Entre ellos figura el que expone bajo el núm. 2: "La transmisión de movimiento por cuerpos sólidos y líquidos no compresibles, siempre y cuando que no medie fricción o choque de materias no elásticas. Nuestro principio general se formula ordinariamente, para estos casos, como la regla según la cual un movimiento trasplantado y modificado mediante potencias mecánicas pierde siempre en intensidad de fuerza en la misma proporción en que gana en velocidad. Si, por tanto, pensamos en una máquina que engendre por medio de cualquier proceso una fuerza de trabajo uniforme y que levante el peso m con la velocidad c, tendremos que otro mecanismo podrá levantar el peso nm, pero sólo con la velocidad ^C/n , por donde en ambos casos podrá representarse la cantidad de la fuerza de tensión producida por la máquina en la unidad de tiempo por la fórmula mgc, en la que g expresa la intensidad de la fuerza de gravedad.¹⁵

con arreglo al cuadrado de la velocidad.

Es cierto que se pone de manifiesto que mv y mv²/2sirve para determinar dos procesos completamente distintos, pero esto ya lo sabíamos de largo tiempo atrás, pues mv² no puede ser = mv, a menos que v sea = l. Se trata de explicarnos por qué el movimiento tiene dos medidas, cosa en verdad tan inexplicable en el terreno de la ciencia como en el del comercio. Tratemos, pues, de abordar la cosa de otro modo.

Vemos que mv sirve para medir "un movimiento trasplantado y modificado mediante potencias mecánicas"; esta medida rige, pues, para la palanca y para todas las formas derivadas de ella, ruedas, tornillos, etc.; en una palabra, para todo mecanismo de transmisión. Ahora bien, por medio de una consideración muy simple y que no tiene nada de nuevo, se llega a la conclusión de que, en la medida en que rija mv, tiene que regir también aquí mv². Tomemos un mecanismo cualquiera en el que las sumas de los brazos de la palanca de ambas partes se comporten en la proporción de 4:1, en la que, por tanto, un peso de 1 kg. mantenga el equilibrio con otro de 4 kgs. Aplicando una fuerza pequeñísima a uno de los brazos de la palanca elevamos, pues, 1 kg. a una altura de 20 metros; la misma fuerza aplicada al otro brazo de la palanca levanta 4 kgs. a una altura de 5 metros, y además el peso predominante desciende en el mismo tiempo que el otro necesita para elevarse. Las masas y las velocidades se comportan en sentido inverso: mv, 1 X 20 = m' v', 4X5. En cambio, si dejamos que cada uno de los pesos, después de elevado, descienda libremente a su nivel anterior, tendremos que uno de ellos, el de 1 kg., adquiere una velocidad de 20 metros, después de recorrer otro espacio de caída igual (la aceleración de la gravedad se calcula aquí, en números redondos, = 10 m., en vez de 9,81 m.); el otro, en cambio, el de 4 kgs., despliega una velocidad de 10 m., después de caer por un espacio de 5 m.¹⁶ mv² = 1 X 20 X 20 = 400 = m' v'² = 4 X 10 X 10 = 400.

En cambio, los tiempos de caída difieren: el peso de 4 kgs. recorre sus 5 metros en 1 segundo y el de 1 kg. recorre en 2 segundos sus 20 metros. Y, como es natural, no se tienen en cuenta, aquí, la fricción ni la resistencia del aire.

Ahora bien, una vez que cada uno de los dos cuerpos cae de su altura, su movimiento cesa. Por tanto, aquí mv se revela como medida de un movimiento simplemente transferido y, por consiguiente, mantenido y mv² como medida de un movimiento

Prosigamos. En el choque de cuerpos perfectamente elásticos ocurre lo mismo: la suma de las mv, lo mismo que la suma de las mv², permanecen idénticas antes y después del choque. Ambas medidas tienen el mismo valor.

No ocurre así, en cambio, en el choque de cuerpos no elásticos. En este caso, los tratados elementales corrientes (pues la mecánica superior no suele ocuparse de semejantes minucias) enseñan que la suma de las mv es la misma antes y después del choque. En cambio, se produce una pérdida de fuerza viva, pues si se resta la suma de las mv² después del choque de la anterior a él, queda siempre y bajo cualesquiera circunstancias un residuo positivo, y es en esta cantidad (o bien en la mitad de ella, según el punto de vista adoptado) en la que se reduce la fuerza viva por efecto de la mutua penetración y del cambio de forma de los cuerpos que chocan entre sí. La segunda afirmación es clara y evidente. Pero no así la primera, la de que la suma de las mv permanece idéntica antes y después del choque. La fuerza viva es, aunque Suter sostenga lo contrario, movimiento, y al perderse una parte de ella, el movimiento se reduce. Por tanto, una de dos: o mv no expresa aquí con exactitud la cantidad de movimiento, o la afirmación que más arriba se hace es falsa. Hay que decir que, en general, todo este teorema a que nos venimos refiriendo procede de una época en que no se tenía aún la menor idea de la transformación del movimiento y en la que, por tanto, sólo se reconocía la desaparición del movimiento mecánico cuando no había otro remedio. Por eso, la igualdad de la suma de las mv antes y después del choque se prueba aquí tomando como base el que nunca se acusa un aumento o una pérdida de dicho movimiento. Pero si los cuerpos pierden fuerza viva en la fricción interna que corresponde a su falta de elasticidad, tienen que perder también velocidad, y la suma de las mv tendrá necesariamente que ser, después del choque, menor que antes. No vale, en efecto, hacer caso omiso del frotamiento interno al calcular las mv, cuando tan claramente se acusa en el cálculo de las mv².

Sin embargo, esto no importa nada. Incluso aunque reconozcamos el teorema y calculemos la velocidad después del choque partiendo de la hipótesis de que la suma de las mv permanece idéntica, nos seguiremos encontrando con que la suma de las mv² ha disminuido. Por tanto, aquí entran en conflicto mv y mv², por lo que toca a la diferencia del movimiento mecánico que realmente desaparece. Y el cálculo mismo demuestra que la suma de las mv² expresa la cantidad del movimiento exactamente, mientras

Son éstos, sobre poco más o menos, todos los casos en que la mecánica emplea la fórmula mv. Veamos, ahora, algunos casos en los que emplea la fórmula mv².

Al dispararse una bala de cañón, agota en su trayectoria una cantidad de movimiento proporcional a mv², lo mismo si se estrella contra un objetivo fijo que si se detiene por efecto de la resistencia del aire y de la fuerza de la gravedad. Cuando un tren choca contra otro tren parado, la fuerza del choque y los efectos de la destrucción correspondiente son proporcionales a su mv². Y la fórmula mv² rige también cuando se trata de calcular cualquier fuerza mecánica necesaria para vencer una resistencia.

Ahora bien, ¿qué quiere decir ese giro tan cómodo y tan usual entre los mecánicos de vencer una resistencia?

Cuando, al levantar un peso, vencemos la resistencia de la gravedad, desaparece en esta operación una cantidad de movimiento, una cantidad de fuerza mecánica igual a la que puede regenerarse mediante la caída directa o indirecta del cuerpo levantado desde la altura necesaria hasta su nivel anterior. Esta cantidad se mide por la mitad del producto de su masa por el cuadrado de la velocidad final adquirida al caer el cuerpo, mv²/2. ¿Qué es, pues, lo que se hace al levantar. el peso? Desaparece, como tal, una cantidad de movimiento mecánico o de fuerza. Pero no desaparece y se aniquila, sino que se convierte en fuerza de tensión mecánica, para emplear el término de Helmholtz; en energía potencial, como dicen los modernos; en ergal, como la llama Clausius, y esto puede, en cualquier momento y bajo cualquier modo mecánicamente admisible, volver a transformarse en la misma cantidad de movimiento mecánico que fue necesaria para crearlo. La energía potencial no es sino la expresión negativa de la fuerza viva, y viceversa.

Supongamos que una bala de cañón de 24 libras de peso se estrelle a una velocidad de 400 metros por segundo contra el blindaje de hierro de un metro de espesor de un acorazado y que, en estas circunstancias, el impacto no deje sobre él ninguna huella perceptible. En esta operación desaparecerá, por tanto, un movimiento mecánico = mv²/2 y, por tanto, como 24 libras alemanas = 12 kg., = 12 X 400 X 400 X 1/2 = 960.000 kilogramos-metros. ¿Qué se ha hecho de ese movimiento? Una pequeña parte de él se ha invertido en sacudir y descomponer molecularmente la

coraza del barco. Otra parte en hacer saltar en incontables pedazos la granada. Pero la mayor parte se ha transformado en calor, poniendo la granada al rojo vivo. Cuando los prusianos, al operar en 1864 contra la isla de Alsen, dispararon sus baterías pesadas contra las paredes acorazadas del "Rolf Krake^",¹⁷ observaron entre las sombras de la noche el resplandor de cada una de las balas que daba en el blanco, como si de pronto se encendiese, y ya antes había demostrado Whitworth, con sus experimentos, que los proyectiles lanzados contra los acorazados no necesitaban de fulminante, pues el mismo metal, al encenderse, se encargaba de hacer estallar la carga. Calculando el equivalente mecánico de la unidad térmica en 424 kilogramos-metros, tendremos que a la cantidad de movimiento mecánico señalada más arriba corresponde una cantidad de calor de 2.264 unidades. El calor específico del hierro es = 0,1140, es decir, que la misma cantidad de calor que eleva en 1° C la temperatura de un kilo de agua (lo que se considera como unidad térmica) basta para elevar en 1° C la temperatura de 1/0,1140 = 8,772 kg. de hierro. Por tanto, las 2.264 unidades térmicas mencionadas elevan la temperatura de 1 kilo de hierro en 8,772 X 2.264 = 19860°, o 19.860 kilos de hierro en 1° C. Y como esta cantidad de calor se reparte por igual entre la coraza y la granada, se obtendría un calentamiento de 19860°/2 X 12 = 828°, que representa ya una incandescencia bastante elevada. Pero, como la parte delantera, que recibe directamente el impacto, experimenta siempre un calentamiento incomparablemente mayor que la parte de atrás, tendríamos que la primera se calentaría en 1104° y la segunda en 552^°, lo que basta y sobra para explicar el efecto de la incandescencia, aunque tuviésemos que hacer una considerable reducción, correspondiente a la acción mecánica producida por el impacto.

También en el frotamiento desaparece una parte del movimiento mecánico, para reaparecer en forma de calor; y, mediante la medición lo más exacta posible de uno y otro consiguieron, como es sabido, Joule en Manchester y Colding en Copenhague determinan experimentalmente por vez primera, de un modo aproximado, el equivalente mecánico del calor.

Y lo mismo ocurre cuando, por medio de la fuerza mecánica, de una máquina de vapor por ejemplo, se produce una corriente eléctrica en una máquina electromagnética. La cantidad de la llamada fuerza electromotora producida en determinado tiempo es proporcional y, si se expresa en la misma medida, igual a la

cantidad de movimiento mecánico que en el mismo tiempo se consume. Podemos imaginarnos este movimiento como engendrado, no por la máquina de vapor, sino por un peso que cae obedeciendo a la presión de la gravedad. La fuerza mecánica que así se puede producir se mide por la fuerza viva que lo recibiría si cayera libremente desde la misma altura o por la fuerza necesaria para levantarlo de nuevo a la altura de antes, o sea en ambos casos mv²/2.

Vemos, pues, que el movimiento mecánico tiene, ciertamente, una doble medida, pero también que cada una de estas dos medidas rige para una serie perfectamente determinada de fenómenos. Si el movimiento mecánico ya existente se transfiere de tal modo que se mantiene como tal movimiento mecánico, se transfiere con arreglo a la proporción del producto de la masa por la velocidad. Pero si, al transferirse, desaparece como movimiento mecánico para renacer en forma de energía potencial, de calor, de electricidad, etc.; si, dicho de otro modo, se convierte en otra forma de movimiento, la cantidad de esta forma de movimiento nuevo será proporcional al producto de la masa originariamente movida por el cuadrado de la velocidad. En una palabra, mv es el movimiento mecánico medido por el movimiento mecánico; mv²/2 el movimiento mecánico medido por su capacidad para convertirse en una determinada cantidad de otra forma de movimiento. Y hemos visto, asimismo, cómo estas dos medidas, siendo distintas, no pueden, sin embargo, contradecirse la una a la otra.

De donde se deduce, por tanto, que la disputa entre Leibniz y los cartesianos no giraba simplemente en torno a palabras y que el "fallo" emitido por d'Alembert no venía, en realidad, a resolver nada. D'Alembert bien podía haberse ahorrado todo lo que dice en contra de sus antecesores, por la sencilla razón de que no veía más claro que ellos en el problema. Y la verdad es que no era posible llegar a ver claro en él mientras no se supiera qué pasaba con el movimiento aparentemente destruido. Mientras los mecánicos matemáticos, como Suter, se encerrasen porfiadamente entre las cuatro paredes de la ciencia de su especialidad, tenían que seguir tan a obscuras como d'Alembert y no podían hacer otra cosa que servir unas cuantas frases vacuas y contradictorias.

Ahora bien, ¿cómo expresa la mecánica moderna esta transformación del movimiento mecánico en otra forma de movimiento cuantitativamente proporcional a él? La expresa diciendo que ha rendido trabajo, tal o cual cantidad de trabajo.

Pero el concepto de trabajo en sentido físico no se reduce a esto. Cuando, como en la máquina de vapor o en la máquina calórica, el calor se trueca en movimiento mecánico, y por tanto el movimiento molecular en movimiento de masa; cuando el calor disuelve una combinación química; cuando en la columna térmica se convierte en electricidad; cuando una corriente eléctrica segrega los elementos del agua del ácido sulfúrico o, a la inversa, el movimiento (alias energía) que queda libre en el proceso químico de una célula excitante reviste forma de electricidad y, a su vez, ésta, al cerrarse el círculo, se trueca en calor: en todos estos casos, la forma de movimiento que inicia el proceso y a la que éste convierte en otra distinta rinde un trabajo, y lo rinde, además, en la cantidad que corresponde a su propia magnitud.

El trabajo es, pues, el cambio de forma del movimiento, considerado en su aspecto cuantitativo.

¿Pero, cómo? Si dejamos colgar tranquilamente en lo alto un peso levantado, ¿es también una forma de movimiento su energía potencial, mientras permanece quieto? Sin duda alguna. Hasta el propio Tait ha llegado a convencerse de que la energía potencial acaba reduciéndose, más tarde o más temprano, a una forma de movimiento actual (Nature).¹⁸ Y Kirchoff, aun prescindiendo de esto, va todavía más allá, cuando dice (Mathematische Mechanik, pág. 32):¹⁹ "La quietud es un caso especial de movimiento", con lo que demuestra que, además de saber calcular, sabe también pensar dialécticamente.

El concepto del trabajo, que se nos presentaba como algo tan difícilmente asequible fuera de la mecánica matemática, se muestra así ante nosotros, de pasada, como jugando y casi por sí mismo, cuando nos paramos a pensar en las dos medidas del movimiento mecánico. En todo caso, ahora sabemos acerca de él más de lo que pudimos aprender en 1862 por la conferencia de Helmholtz Über die Erhaltung der Kraft ["Sobre la conservación de la fuerza"], en la que se proponía precisamente "aclarar todo lo posible los conceptos físicos fundamentales del trabajo y de su inmutabilidad". Todo lo que aquí se nos dice del trabajo es que se trata de algo que se expresa en libras-pies o en unidades térmicas y que el número de estas libras-pies o de estas unidades térmicas no varía con respecto a una determinada cantidad de trabajo. Y asimismo que, además de las fuerzas mecánicas o calóricas, también pueden rendir trabajo las fuerzas químicas y eléctricas, si bien éstas agotan su capacidad de trabajo en la medida en que realmente lo rinden. Y que de aquí se deduce el que la suma de las cantidades eficientes de fuerza que se

contienen en la totalidad de la naturaleza permanece, a través de los cambios operados en ésta, perenne e inmutable. El concepto de trabajo no se desarrolla, ni siquiera se lo define.* Y es precisamente la inmutabilidad cuantitativa de la magnitud del trabajo la que le impide a Helmholtz ver que el cambio cualitativo, el cambio de forma, es la condición fundamental de todo trabajo físico. Es así como Helmholtz puede aventurar la siguiente afirmación: "La fricción y el choque no elástico son procesos en los que se destruye trabajo mecánico,²⁰ creándose a cambio de él calor" (Populäre Vortráge, II, pág. 166). Es exactamente al contrario. Aquí, no se destruye trabajo mecánico, sino que se realiza. Es el movimiento mecánico lo que en apariencia se destruye. Pero el movimiento mecánico jamás ni en modo alguno puede rendir trabajo por una millonésima parte de kilogramo-metro sin quedar aparentemente destruido en cuanto tal, sin convertirse en una forma de movimiento distinta.

La capacidad de trabajo encerrada en una determinada cantidad de movimiento mecánico se llama, como hemos visto, su fuerza viva y se medía, hasta hace poco, por mv². Pero aquí surge una nueva contradicción. Oigamos a Helmholtz (Erhaltung der Kraft, pág. 9). Este autor dice que la magnitud de trabajo puede expresarse mediante un peso, m, elevado a una altura, a, por donde, expresando la fuerza de gravedad por g, la magnitud de trabajo será mga. Para poder elevarse perpendicularmente a la altura a, la velocidad, v, tiene que ser = Ö2ga, y al caer adquiere la misma velocidad. Por tanto, mga = mv²/2_,y Helmholtz propone "designar ya desde ahora la magnitud mv²/2 como cantidad de la fuerza viva, con lo que se identifica con la medida de la magnitud de trabajo. Esta variación... carece de importancia en cuanto a la aplicación que hasta ahora veníamos dando al concepto de la fuerza viva y, en cambio, nos deparará importantes ventajas en lo sucesivo".

Parece casi increíble. En 1847, Helmholtz tenía ideas tan poco claras acerca de las relaciones mutuas entre fuerza viva y trabajo, que ni siquiera se da cuenta de que convierte la anterior

* No avanzamos nada si consultamos a Clerk Maxwell. Este dice (en su obra Theory of Heat ["Teoría del calor"], 4° ed., Londres, 1875, pág. 87): "Work is done when resistance is overcome" [Se rinde trabajo cuando se vence una resistencia], y en la pág. 185: "The energy of a body is its capacity for doing work." [La fuerza de un cuerpo es su capacidad para rendir trabajo]. Es todo lo que averiguamos acerca de esta cuestión. [Nota de Engels.]

medida proporcional de la fuerza viva en su medida absoluta; no tiene ni la menor idea del descubrimiento tan importante que ha hecho con su golpe de audacia y se limita a recomendar que se utilice su mv²/2 en vez de mv² ¡simplemente por razones de comodidad! Y fue, en efecto, por comodidad como los mecánicos se acostumbraron a la fómula mv²/2. Hasta que, más tarde, fue probándose también esta fórmula matemáticamente; en Naumann (Allgemeine Chemie ["Química general"], pág. 7),²¹encontramos un desarrollo algebraico y en Clausius (Mechanische Wärmetheorie ["Teoría mecánica de calor''], 2a ed., I, pág. 18²²) un desarrollo analítico, que luego Kirchoff (obra cit., pág. 27) se encarga de deducir y llevar a cabo de otro modo.

Una bonita derivación algebraica de mv²/2 partiendo de mv la encontramos en Maxwell (obra cit., pág. 88). Lo cual no impide a nuestros dos escoceses Thomson y Tait decir (obra cit., pág. 163) lo que sigue: "La fuerza viva o energía cinética de un cuerpo en movimiento es proporcional a su masa y al cuadrado de su velocidad conjuntamente. Si retenemos las anteriores unidades de la masa [y de la velocidad] (a saber, la unidad de la masa que se mueve con la unidad de la velocidad), resulta particularmente ventajoso²³ definir la fuerza viva como la mitad del producto de la masa por el cuadrado de la velocidad."²⁴Como vemos, los dos primeros mecánicos de Escocia hacen que se estanque, aquí, no sólo el pensamiento, sino también el cálculo. La particular advantage [lo "particularmente ventajoso"], el carácter fácilmente manejable de la fórmula, lo resuelve todo de la más linda de las maneras.

Para nosotros, que hemos visto que la fuerza viva no es sino la capacidad que una cantidad mecánica dada de movimiento tiene de rendir trabajo; para nosotros, es evidente que la expresión mecánica de la medida de esta capacidad de trabajo y del trabajo realmente rendido por ella tienen necesariamente que ser iguales entre sí; que, por tanto, si mv²/2 mide el trabajo, la fuerza viva deberá tener también por medida mv²/2. Pero así pasa en la ciencia. La mecánica teórica es encuentra con el concepto de la fuerza viva, y la mecánica práctica de los ingenieros tropieza con el del trabajo y se lo impone a los teóricos. Y hasta tal punto ha acabado el cálculo con la costumbre de pensar, que pasa mucho tiempo antes de que se descubra la conexión entre ambos, y mientras el uno toma como medida la fórmula mv², el otro

aplica la fórmula mv²/2, hasta que, por último, se acepta para ambos la segunda, pero no por razones de fondo, sino ¡sencillamente para simplificar el cálculo!*

* Tanto la palabra trabajo como la idea misma proceden de los ingenieros ingleses. Pero en inglés el trabajo práctico se expresa con la palabra work, mientras que el trabajo en sentido económico se llama labour. Por eso al trabajo físico se le designa también con la palabra work, lo que descarta toda posible confusión con el trabajo en su acepción económica. No sucede así en alemán, razón por la cual encontramos en la moderna literatura seudocientífica diferentes casos en que el concepto de trabajo en sentido físico aparece peregrinamente aplicado a condiciones de trabajo puramente económicas, y viceversa. En alemán tenemos, sin embargo, la palabra Werk [obra], que, al igual que la inglesa work, se presta magníficamente para designar el trabajo físico. Pero, como a nuestros naturalistas les cae muy lejos la economía, no es fácil que se decidan a emplear esa palabra en sustitución del término trabajo, ya aclimatado, a menos que lo hagan cuando ya sea demasiado tarde. Clausius es el único que intenta retener la palabra "obra", por lo menos al lado de la palabra "trabajo". [Nota de Engels.]